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Soit H + = {z 1 I m z 3 a } avec a > O, un horodisque centré en m. On a Im(yn(z))= A" I m z donc pour n grand, y n ( z ) appartient à H + (figure 26). w O FIGURE 26 Plus généralement, on dit qu'un point 17: de L ( r ) est horocyclique si rz rencontre tous les horodisques centrés en 2. On note Lh(I') l'ensemble de ces points. 7). Les points fixes des isométries hyperboliques ne représentent donc qu'une infime partie de cet ensemble. L'exercice suivant propose une caractérisation des points horocycliques en termes de cocycles de Busemann.

11, il existe un domaine D,(î)tel que È, soit compact dans ED. 9, l’intersection, notée l‘=(Y), de L p ( î )avec Dz(î)(oo) est finie. Montrons que l’on peut supposer les horodisques ( y ( H ’ ( ~ ) ) ) ~ € r , ~ € ~ , ( r ) disjoints ou confondus. Considérons l’ensemble A des y E r tels que y H + ( x ) n H+(y) # 0 et l’ensemble B des doubles classes î y \ A / ï z . Si B est fini, il suffit de remplacer H + ( z ) par un horodisque de rayon euclidien plus petit que celui de H + ( z ) pour que yH+(z) n H+(y) = 0 quel que soit y E I?.

Nous terminons ces commentaires par quelques lignes de présentation des propriétés métriques de l’ensemble limite d’un groupe fuchsien non élémentaire r agissant sur le disque de Poincaré ID. 38 CHAPITRE I. El- où O est par exemple le centre du disque ID. Son exposant critique 6(r)peut aussi être défini par (491: 1 6(r)= lim -(Incard{? E r I d(O,y(O)) R } ) . 61). Cette série permet aussi de construire des mesures m, appelées mesures d e Patterson, dont le support est L ( r ) et qui, à défaut d’être invariantes par r (de telles mesures n’existent pas si î n’est pas élémentaire) sont conformes au sens où elles vérifient la relation où Iy’(z)l représente le coefficient de conformité au point z de l’homographie y, vue comme transformation conforme ([46], [43]) du plan.