By Josef Trölß
Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und werden in immer weiteren Bereichen angewendet.
Mathcad stellt dazu eine Vielfalt an Werkzeugen zur Verfügung und verbindet mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt. So lassen sich Berechnungen und ihre Resultate besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren.
Dieses Lehr- und Arbeitsbuch, aus dem vierbändigen Werk „Angewandte Mathematik mit Mathcad“, richtet sich vor allem an Schülerinnen und Schüler höherer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler sowie Anwenderinnen und Anwender – speziell im technischen Bereich – die sich über eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme im Bereich der Differential- und Integralrechnung informieren wollen und dabei die Vorzüge von Mathcad möglichst effektiv nützen möchten.
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Den Grenzwert s hat, wird dieser Reihe s als Wert zugeschrieben. Wir sagen: Die Reihe konvergiert und hat die Summe s (s ). f ¦ s = a1 a2 a3 .... an .... = k ak (1-34) 1 Sätze über Reihen: f 1. Eine unendliche Reihe ¦ k ak heißt konvergent, wenn ihre Partialsummenfolge 1 < sn > konvergiert. Den Grenzwert s der Partialsummenfolge bezeichnen wir als Summe der Reihe: f ¦ s = a1 a2 a3 .... an .... = k n ak = lim nof 1 sn = ¦ lim nof k ak (1-35) 1 Divergiert dagegen die Folge der Partialsummen der gegebenen Reihe, so heißt diese divergent.
Xn of die Folge < f(xn) > stets gegen denselben Grenzwert G, so heißt G Grenzwert der Funktion für xn ofbzw. xn of. Wir schreiben dafür: lim f ( x) = G bzw. lim xof f ( x) = G (2-10) xof Ist G gleich "+ f"oder "- f ", so sprechen wir auch von einem uneigentlichen Grenzwert. Es gelten hier auch die vorher genannten Grenzwertsätze. b) Eine Gerade g: x = a (Parallele zur y-Achse) heißt Asymptote der Funktion f: y = f(x), wenn gilt: f ( x) = f ; lim xoa lim f ( x) = f (2-11) xoa a heißt Pol der Funktion f.
Auch die Summe, Produkt, Kehrwert und Verkettung (Hintereinanderausführung) von stetigen Funktionen führen wieder auf stetige Funktionen. 1: f ( x) x if 0 d x d 3 f1 ( x) = wenn [ ( 0 d x) ( x d 3) x wenn ( x ! 3 x 1 0) ] oder Funktion x 1 if x ! 5 FRAME lim ( x 1) o 2 x o x1 lim x o x1 f x1 x o3 3 lim 'x o 0 lim 'x o 0 f x1 'x f x1 35 mithilfe der Variablen FRAME definierter Parameter FRAME: 0 bis 15 mit 1 Bild/s x-Wert und y-Wert Differenz rechtsseitiger Grenzwert linksseitiger Grenzwert Funktionswert Der Grenzwert sollte bei Stetigkeit 0 werden!