By Josef Trölß
Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und werden in immer weiteren Bereichen angewendet.
Mathcad stellt dazu eine Vielfalt an Werkzeugen zur Verfügung und verbindet mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt. So lassen sich Berechnungen und ihre Resultate besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren.
Dieses Lehr- und Arbeitsbuch, aus dem vierbändigen Werk „Angewandte Mathematik mit Mathcad“, richtet sich vor allem an Schülerinnen und Schüler höherer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler sowie Anwenderinnen und Anwender – speziell im technischen Bereich –, die sich über eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme im Bereich komplexer Zahlen, komplexer Funktionen, Vektor- und Matrizenrechnung, Vektoranalysis informieren und dabei die Vorzüge von Mathcad möglichst effektiv nützen möchten.
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Das Polynom vom Grade n lässt sich im komplexen Zahlenbereich in Linearfaktoren zerlegen: n an z an1 z n1 2 .... a2 z a1 z a0 = an z z 1 z z 2 .... , z n sind dabei die n Lösungen (n Polynomnullstellen) der algebraischen Gleichung. Bei ausschließlich reellen Koeffizienten (a i ) treten komplexe Lösungen der algebraischen Gleichung immer paarweise auf, nämlich als Paare zueinander konjugiert komplexer Zahlen. Wenn nämlich z 1 eine Lösung ist, so ist z 1 * ebenfalls eine Lösung.
Löst man die Gleichung im Komplexen, so besagt der Fundamentalsatz der Algebra: Eine algebraische Gleichung n-ten Grades n an z an1 z n1 2 .... , n)) besitzt in der Menge der komplexen Zahlen stets genau n Lösungen (Wurzeln). Das Polynom vom Grade n lässt sich im komplexen Zahlenbereich in Linearfaktoren zerlegen: n an z an1 z n1 2 .... a2 z a1 z a0 = an z z 1 z z 2 .... , z n sind dabei die n Lösungen (n Polynomnullstellen) der algebraischen Gleichung.
Für k = 0 erhält man den Hauptwert: ln ( z ) = ln ( r) j M (0 d M < 2S) (1-70) ln(r), mit r = |z|, ist sein Realteil und das Argument M der Imaginärteil der komplexen Zahl z (Hauptwert). Die übrigen Werte heißen Nebenwerte. Sie ergeben sich aus dem Hauptwert durch Addition ganzzahliger Vielfacher von 2. S. j. Die verschiedenen komplexen Zahlen stimmen also im Realteil überein. Bemerkung: ln(z) ist für jede komplexe Zahl (z z0) erklärt (auch für negative reelle Zahlen). Die Rechengesetze für Logarithmen komplexer Zahlen sind die gleichen wie im Reellen.