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Statistische Mechanik by Franz Schwabl

By Franz Schwabl

Statistische Mechanik ist eine deduktive Darstellung des Gleichgewichts basierend auf einer einzigen Hypothese - der shape der mikrokanonischen Dichtematrix. Auch die wichtigsten Elemente von Nichtgleichgewichtsph?nomenen werden behandelt. Vorausgesetzt wird der Kurs Quantenmechanik (vom selben Autor erschienen als Quantenmechanik und Quantenmechanik f?r Fortgeschrittene). Zwischenrechnungen werden ausf?hrlich und vollst?ndig durchgef?hrt. Aufgaben am Kapitelende helfen beim Festigen des Stoffes. ?ber die Grundlagen hinaus wird versucht, die Breite und Vielfalt der Anwendungen der Statistischen Mechanik zu demonstrieren. Moderne Gebiete wie Renormierungsgruppentheorie, Perkolation, stochastische Bewegungsgleichungen und deren Anwendungen in der kritischen Dynamik werden besprochen. F?r Studierende der Physik nach dem Vordiplom.

Die dritte ?berarbeitete Auflage besticht durch ihre stringente Darstellung und illustriert anschaulich die vielf?ltigen Anwendungen der statistischen Mechanik.

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18) k¨ onnen wir die partiellen Ableitungen der Entropie nach E und a ablesen:8 ∂S ∂E = a 1 T ; ∂S ∂a =− E 1 T ∂H ∂a . 19) Einf¨ uhrung des Druckes (Spezialfall: a = V ): ¨ Nach den vorausgehenden Uberlegungen k¨ onnen wir uns der Herleitung des Druckes im Rahmen der statistischen Mechanik zuwenden. Wir orientieren uns dabei an Abb. 6. Ein verschiebbarer Stempel, im Abstand L vom Ursprung, erlaube die Ver¨ anderung des Volumens V = LF , wo F der Querschnitt des Stempels sei. Der Einfluß der Wand wird durch ein Wandpotential dargestellt.

G. M. Morse and H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics, p. 434, McGraw Hill, New York, 1953. 34 2. Gleichgewichtsensemble mit e = E/N besitzt ein Maximum an der Stelle k0 = ω 2 ω 2 e+ 1 log ωi e− . 28) Dieses Maximum bestimmt sich aus dem Verschwinden der ersten Ableitung f (k0 ) = ie − ω k0 ω cot =0. 29) ω 2 e− ( ω)2 sin2 (k0 ω/2) f¨ ur Ω(E) : 1 Nf (k0 ) e 2π 1 dk eN 2 f (k0 )(k−k0 )2 . 31) gegeben. 2 Zwei-Niveau-Systeme, Spin- 12 -Paramagnet Als drittes Beispiel betrachten wir ein System von N Teilchen, die sich in zwei Zust¨ anden befinden k¨ onnen.

7a–d) pi ψi | A |n n|ψi = Sp ρA = n i pi ψi | A |ψi = A . 7b) pi pj |ψi ρ2 = i ψi |ψj ψj | = ρ . j F¨ ur jedes |ψ ist der Erwartungswert von ρ 2 ψ| ρ |ψ = pi | ψ|ψi | ≥ 0 i nicht negativ. 6) m=1 ∞ Pm ≥ 0, Pm = 1, m|m = δmm . m=1 2 2 In dieser Basis ist ρ2 = m Pm |m m| und offensichtlich Sp ρ2 = m Pm < 1, wenn mehr als nur ein Zustand vorkommt. 6) vorkommen m¨ ussen: pi pj ψi |ψj Sp ρ2 = n ψj |n n|ψi i,j 2 pi pj | ψi |ψj | < = i,j pi i pj = 1. j (ii) Das Kriterium f¨ ur einen reinen oder einen gemischten Zustand ist nach Gl.

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