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Si ces réels sont tous positifs, naturellement, la forme quadratique q est-elle même positive. Si de plus k = n, alors on sait d’après l’exercice 7 que n dim n Ker(wi ) = n − n = 0 et donc i=1 Ker(wi ) = {0}. i=1 On en déduit que pour tout n−uplet non nul x = (x1 , . . , xn ), il existe au moins un i ∈ Ú1, nÛ tel que ui (x) = 0 et donc pour tout x ∈ Rn non nul, q(x) > 0. On traite d’une façon analogue le cas où ces réels sont tous négatifs. • S’il existe deux de ces réels de signe contraire, par exemple l1 > 0 et l2 < 0, alors on sait qu’il existe y, z ∈ Rn tels que u2 (y) = u3 (y) = · · · = uk (y) = 0 u1 (y) = 1 u1 (z) = u3 (z) = · · · = uk (z) = 0 w2 (z) = 1 et Rn → Rk est surjective).

Xn . En répétant l’opération sur la 51 Chapitre 2 – Algèbre bilinéaire forme quadratique restante, de proche en proche, on exprimera donc q comme une combinaison linéaire d’au plus n carrés de formes linéaires. Il est aisé de prouver que les formes linéaires obtenues sont linéairement indépendantes. À ce stade nous pouvons écrire q sous la forme q = l1 u21 + l2 u22 + · · · + lk u2k où les réels l1 , . . , lk sont non nuls. • Si ces réels sont tous positifs, naturellement, la forme quadratique q est-elle même positive.

Xn )2 − u4 (x1 , . . , xn )2 + q2 (x3 , . . , xn ) 4 où u3 , u4 sont des formes linéaires sur Rn et q2 une forme quadratique en x3 , . . , xn . Dans tous les cas, nous avons exprimé q à l’aide de carré(s) de forme(s) linéaire(s) et d’une forme quadratique en x2 , . . , xn ou x3 , . . , xn . En répétant l’opération sur la 51 Chapitre 2 – Algèbre bilinéaire forme quadratique restante, de proche en proche, on exprimera donc q comme une combinaison linéaire d’au plus n carrés de formes linéaires.