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De E dans E (affines). 2. Les ensembles O(E), Isom(E), munis de la composition des applications, sont des groupes. Démonstration. Il faut montrer que les isométries sont des bijections. 11). Il suffit donc de démontrer que les isométries vectorielles sont des bijections. Maintenant, un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie est bijectif si et seulement si il est injectif(2) . Il suffit donc de démontrer que toute application linéaire f : E → E qui préserve la norme est injective, ce qui est très facile : f (u) = 0 ⇒ 0 = f (u) = u ⇒ u = 0.

Soit F ⊂ E un sous-espace d’un espace vectoriel euclidien, stable par une isométrie f . Alors F ⊥ est stable par f . Démonstration. Soit x ∈ F ⊥ . C’est dire que pour tout y dans F , on a x · y = 0. Mais f préserve le produit scalaire, on a donc f (x) · f (y) = 0 pour tout y dans F . Comme F est stable par f , f (y) ∈ F . De plus, f est une isométrie et en particulier elle est bijective, donc tout élément z de F s’écrit z = f (y) pour un y ∈ F . On a donc ∀ z ∈ F, f (x) · z = 0, c’est-à-dire que f (x) ∈ F ⊥ .

Comme F est stable par f , f (y) ∈ F . De plus, f est une isométrie et en particulier elle est bijective, donc tout élément z de F s’écrit z = f (y) pour un y ∈ F . On a donc ∀ z ∈ F, f (x) · z = 0, c’est-à-dire que f (x) ∈ F ⊥ . 2. 2. Structure des isométries Je vais montrer que toute isométrie de E dans E peut s’écrire comme la composée d’un certain nombre de réflexions. De façon plus pédante : « les réflexions engendrent le groupe des isométries ». Je fais d’abord la démonstration pour les isométries affines planes, puis je la refais en toutes dimensions (en commençant par le cas vectoriel).